Enigme, devinette, petit problème, casse-tête, exo, exercices

Défi de Noël sur les anneaux d’entiers modulo n

Chers lecteurs, il fut un temps où j’écrivis très régulièrement dans ce blog.  Aujourd’hui j’ai moins de temps, mais je souhaite quand même vous donner un petit exercice de mathématique afin de vous occuper pendant ces jours sans cours de math 😉 Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que les anneaux aZ/bZ et cZ/dZ […]

Une intégrale pas facile

Il y a quelques jours l’algorithme YouTube m’a fait découvrir une vidéo dont le but est de calculer l’intégrale suivante : \[J(a)=\int_0^\pi\frac{t\sin(t)}{1+a^2-2a\cos(t)}\,\mathrm dt\,,\qquad a\in\mathbb R.\] Le calcul présenté utilise une fonction auxiliaire que je n’aurais jamais eu l’idée de trouver. Donc je me suis lancé le défi de trouver une méthode qui me semble plus naturelle ; je vais […]

Exercice de géométrie élémentaire

Un lecteur m’a posé une question sur la construction géométrique suivante. On dessine un rectangle composés de carrés concaténés de 1 par 5 dans lequel on trace les diagonales des rectangles (1,4) et (1,5). On trace la perpendiculaire à la diagonale (1,5) qui passe par le coin du rectangle (1,5). Ensuite on trace la perpendiculaire […]

Sur la bonne notation des parenthèses dans les expressions

Dans les calculs il y a des règles de priorités sur lesquelles tout le monde s’entend et qui simplifient les notations. Par exemple, les multiplications sont prioritaires aux additions: \[ a+bc = a+(bc), \qquad a+bc \neq (a+b)c.\] Et les puissances sont prioritaires aux multiplications: \[ ab^c = a(b^c), \qquad ab^c \neq (ab)^c.\] Les calculatrices et […]

Petite enigme

Voici un petit problème envoyé par un lecteur: Il s’agit de trois amis Anne, Bruno et Colette qui ne se sont retrouvés ensemble tous les trois depuis longtemps, au même endroit dit « Au Café des Trois Amis ». Anne affirme à Colette qu’il y a maintenant 20 jours qu’elle a pris un café avec Bruno alors […]

Matrice de troc (à la Leontief)

Voici un petit exercice de calcul matriciel inspiré de mon enseignement de mathématiques aux étudiants en premier semestre d’économie. Évidemment je n’ai pas traité la deuxième question avec eux, elle est destinée pour mes lecteurs matheux. Considérons une économie constituée de seulement trois pays dont chacun est exportateur d’un seul produit agricole: ananas, banane et […]

Suite de double restes par division euclidienne

Aujourd’hui mon ami Fare de NYC, quelques jours en visite à Paris, m’a invité dans son cercle habituel d’amis libertaires (pour que je fasse contre-poids à leurs idées?). Mais on ne parlait pas uniquement d’interactions société/économie et d’un certain monde idéal, mais aussi un peu de math. Comme cadeau d’au-revoir il m’a posé ce joli […]

Divisibilité avec factorielles

Voici un exercice, pas très difficile, concernant des nombres entiers formés par des factorielles. Soient k1, … , kr, m1, … , mr des entiers naturels. Montrer que la factorielle \((k_1m_1\,+\,\cdots\,+\,k_rm_r)!\) est divisible par \(m_1!\:\cdots\:m_r!\;k_1!^{m_1}\:\cdots\:k_r!^{m_r}.\)

L’image de l’exponentielle de matrice dans le cas réel

Au mois de mars j’avais posé une question sur l’exponentielle de matrice (voir ce billet). Mes chers lecteurs fidèles ont donné des pistes de preuves qu’on pourra relire dans les commentaires. Aujourd’hui neuf mois sont passés (à peu près le temps de gestation d’un bébé) et je n’ai toujours pas posté la solution! Je n’ai […]

Logarithme et racine carrée d’une matrice réelle

Un petit exercice concernant l’exponentielle matricielle, posé sur le blog de Pierre Lecomte, donne l’occasion de vous proposer l’exercice suivant. Soit A une matrice réelle inversible de taille n. On pose \(\sqrt{A}=\{ B\in M_n(\mathbb{R})\;\mid\; B^2=A\}\) et \(\log(A)=\{ B\in M_n(\mathbb{R})\;\mid\; \exp(B)=A\}.\) Montrer que l’ensemble \(\sqrt{A}\) est vide si et seulement si \(\log(A)\) l’est.