Soit f : E \rightarrow E' une application linéaire. Quelle notation choisir pour la matrice de f dans les bases \scr B de E et \scr B' de E' ? On rencontre essentiellement quatre notations, à savoir

M_{\scr B'\scr B}(f),\;\:M_{\scr B\scr B'}(f),\;\:M^{\scr B}_{\scr B'}(f),\;\:M_{\scr B}^{\scr B'}(f).

Dans mes cours j'utilise la première notation qui est, à mon avis, la seule valable. Lorsque je colle des étudiants en prépa j'utilise la notation de leur professeur qui est, malheureusement, souvent la deuxième; en fait, avec cette notation la moitié des étudiants se trompe lorsqu'ils doivent faire un changement de base. (Le programme PCSI s'abstient sagement d'imposer une notation tandis que le programme MPSI impose la deuxième notation.)

Le but d'une telle notation est de réduire l'idée, une fois comprise, à un simple travail qu'on peut accomplir mécaniquement, sans devoir réfléchir à nouveau chaque fois. Et seulement la première notation fait exactement cela! En fait, elle rend naturel tout le mécanisme:

  • Si dim(E)=n et dim(E')=n' alors la matrice M_{\scr B'\scr B}(f) est dans l'espace {\scr M}_{n'n}(K). Ainsi l'ordre des bases correspond à l'ordre des dimensions dans la notation des matrices (d'abord le nombre de lignes, puis le nombre de colonnes).

  • Si on compose f : E \rightarrow E' et g : E' \rightarrow E'' alors on a

    M_{\scr B''\scr B}(g\circ f) = M_{\scr B''\scr B'}(g) M_{\scr B'\scr B}(f).

    C'est une relation de Chasles entre les bases, et donc facile à retenir.

En cohérence avec cette notation la matrice de changement de base de \scr B vers \scr A est M_{\scr B\scr A}(id_E). La formule de changement de base découle encore de la relation de Chasles:

M_{\scr A'\scr A}(f) = M_{\scr A'\scr B'}(id_{E'}) M_{\scr B'\scr B}(f)M_{\scr B\scr A}(id_E).



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