Aujourd'hui commencent les oraux du Capes de mathématiques 2013. Le sujet 2 de de l'écrit comporte une bizarrerie: on y amène le lecteur à démontrer, de manière très compliquée, un énoncé qui possède également une preuve belle, courte et simple utilisant les notions au programme du concours. Il s'agit du Problème 2 Partie A dont on deux bonnes solutions ont été proposées par mes lecteurs hier sur ce blog.

Voici une liste d'autres maladresses et mêmes erreurs, relevées par un ami. Même si dans la majorité des cas, ces erreurs ne sont pas très graves, cela fait beaucoup pour un sujet aussi simple et qui aurait pu surtout, être rédigé d'une manière beaucoup plus intelligente! Il est clair que la rédaction d'un bon sujet n'est pas une chose facile et ne repose pas sur les épaules d'un seul membre du jury. Qu'ont fait les relecteurs?

  • Problème I. Partie D.3. En principe, pour répondre correctement à la question posée, il faudrait redémontrer le théorème de trigonalisation, car \alpha_1, \ldots, \alpha_n sont fixés au préalable et donc il faudrait montrer une version plus forte du théorème, pour exhiber une base dans laquelle la matrice est exactement celle du texte; on va dire qu'il s'agit d'une petite erreur de quantificateurs !

  • Problème I. Partie D.4.3. Dans l'esprit de l'auteur, les colonnes de Tn sont les images des Tn(ei) dans la base initiale ! L'ordre imposé par la question, la rend incohérente !

  • Problème I. Partie D.5.3. La question posée est vague, des matrices semblables à ..., il y en a une infinité. Il valait mieux dire quel est l'endomorphisme limite...

  • Problème I. Partie E.1. Une petite erreur de quantificateur, pas très grave: \lambda_1=1 doit être compris comme l'une des valeurs propres vaut 1...

  • Problème II Partie .B.3. Dans la réciproque de Wilson le cas n=1 est oublié.

  • Problème II. Partie B.4. La discussion est bancale. Les deux cas à envisager sont : n est un carré ou non.

Addendum: Le sujet de la deuxième épreuve bis du 20 juin 2013 comporte également quelques bizarreries:

  • Problème I. Partie A. Dès la première question, on demande des conditions suffisantes pour que... Je serais curieux de savoir ce que ferait le correcteur si un candidat répondait P(X)=X par exemple !
  • Problème I. Partie B. On souhaite démontrer qu'une matrice d'ordre fini est diagonalisable dans Mn(C) et si on impose de plus des choses sur le spectre, alors on obtient d'autres résultats. Le plus naturel est de dire qu'une matrice d'ordre fini possède un polynôme annulateur scindé à racines complexes simples, donc elle est diagonalisable sur C (c'est une question de colle qu'on trouve par exemple ici sur ce blog) et le reste en découle clairement. De plus, les résultats de la partie A vont dans ce sens. Or l'énoncé semble vouloir d'autres arguments. On repart à chaque fois de la forme triangulaire, on fait des calculs et on arrive à la forme diagonale : Il semblerait maintenant qu'il y ait des choses attendues (qui sont bien bizarres, du reste) et que le candidat doive suivre cette logique pour le moins curieuse. Les auteurs auraient-ils pu passer à côté de l'argument simple, alors qu'ils semblaient même le suggérer au début du sujet ?

Le recrutement des professeurs certifiés en maths passe incontestablement par une crise très grave en ce moment*; est-ce la peine d'en rajouter ?


* Selon le rapport 2012 p.10, en 1999 il y avait 7332 candidats pour 945 postes, aujourd'hui ce ne sont plus que 1464 pour 950 postes.



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