En économie, physique, ingénierie, on enseigne la méthode des multiplicateurs de Lagrange : Si P est un extrémum d'une fonction f de n variables x1, ... ,xn sous m contraintes données par g1(x1,...,xn)=0, ... , gm(x1,...,xn)=0, alors il existe des réels λ1, ... ,λm tels que

grad f(P) = λ1 grad g1(P) + ··· + λm grad gm(P).

Généralement, lorsqu'on enseigne ce théorème à des non-matheux, il est préférable de ne pas faire la démonstration en toute généralité. D'habitude je me contente d'expliquer deux cas particuliers où on "voit" géométriquement ce qui se passe :

  • n=3 et m=1. Grâce à la règle de dérivation d'une fonction composée, on montre que les gradients de f et g en P sont orthogonaux au plan tangent à la surface décrite par g(x,y,z) = 0. Donc ces gradients sont colinéaires.

  • n=3 et m=2. De même, on montre que les gradients de f, g1 et g2 en P sont orthogonaux à la tangente à la courbe décrite par g1(x,y,z) = g2(x,y,z) = 0. Ils sont donc coplanaires.

Concernant une application de ce théorème j'ai une question à laquelle vous savez peut-être répondre.

Y a t-il un exemple élémentaire mais non trivial? L'exemple classique de minimisation de coût lorsqu'on construit une boîte rectangulaire dont le volume est fixé et dont le couvercle coûte, au cm2, le double des autres côtés n'est pas vraiment intéressant; en effet, on peut isoler l'une des variables dans l'équation de la contrainte et se ramener à une fonction de deux variables indépendantes.


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