Dans ce qui suit tous les nombres sont des nombres naturels :  0, 1, 2, 3, 4, ...

Multiples

Définition.  Les multiples d'un nombre n sont les nombres 0, n, 2n, 3n, 4n, ...

Exemples :

  • Les multiples de 2 sont 0, 2, 4, 6, 8, ...
  • Les multiples de 3 sont 0, 3, 6, 9, 12, ...
  • Les multiples de 4 sont 0, 4, 8, 12, 16, ...

On appelle les multiples de 2 aussi nombres pairs. Les non-multiples de 2 sont 1, 3, 5, 7, ... et sont appelés nombres impairs.

Notre définition donne les multiples en forme d'une liste. Mais qu'est-ce qui signifient vraiment les trois petits points dans la liste 0, n, 2n, 3n, 4n, ... ? En fait, on peut écrire les trois points car tout le monde comprend comment on doit continuer la liste : après 4n, il y a 5n, puis 6n, et de suite. Autrement dit, on a la règle suivante.

Règle 1.  Un nombre m est un multiple de n si et seulement s'il existe un k tel que m = kn.

Par exemple, le nombre m=24 est multiple du nombre n=4 car 24=k×4 avec k=6.

Il est important que ce k soit aussi un nombre naturel, comme m et n. En effet, on n'a pas le droit de dire la phrase suivante : Le nombre 3 est multiple 4 car 3=k×4 avec k=¾.

Règle 2.  Zéro est multiple de tout nombre. Tout nombre est multiple de soi-même.

Preuve : Soit n un nombre choisi. Le nombre 0 est le premier élément de la liste de multiples de n — on l'obtient en prenant k=0. Et n est le deuxième élément dans cette liste — on l'obtient en prenant k=1.

Cas particuliers :

  • Les multiples de 1 sont 0, 1, 2, 3, 4, ..., c'est-à-dire, tout nombre est multiple de 1.
  • Les multiples de 0 sont 0, 0, 0, 0, 0, ..., c'est-à-dire, zéro n'a que lui-même comme multiple.

Dans les exemples on voit que la liste des multiples de 4, à savoir 0, 4, 8, 12, ..., est contenue dans la liste des multiples de 2. Si on y réfléchit un peu ce n'est pas très étonnant et nous allons le formuler comme une règle général :

Règle 3.  Si m est multiple de n et si n est multiple de p alors m est aussi multiple de p.

Preuve :  Si m est multiple de n on peut l'écrire comme m = kn ;  et si n est multiple de p on peut l'écrire comme n = k'p. Alors on a m = kn = kk'p ce qui prouve que m est multiple de p.

Exemples :

  • 6 est multiple de 3, donc tout multiple de 6 est aussi multiple de 3.
    La réciproque n'est pas vraie, par exemple, 9 est multiple de 3 mais pas de 6.
  • Tout multiple de 12 est aussi un multiple de 3 et de 4 et de 2.
    C'est vrai car 12 est multiple de 3 et de 4 et de 2.

Diviseurs

Beaucoup d'affirmations que nous disons dans notre langage de tous les jours, dépendent de notre point de vu. Par exemple, les deux phrases

Zoé est la fille d'Alexandre  et  Alexandre est le père de Zoé
signifient la même chose, mais de points de vue différents. C'est cette diversité qui donne de la richesse à notre langue ! En mathématiques aussi il y a des manières différentes pour exprimer une même chose ; c'est utile, pas pour une question de style, mais car en maths le changement du point de vue est souvent un outil très puissant (voir un exemple dans cet article).

Définition.  Si m est un multiple de n on dit aussi que m est divisible par n ou que n divise m ou que n est un diviseur de m.

Autrement dit, n divise m si et seulement s'il existe k entier tel que m = kn.
L'équation m = kn équivaut à k = m/n. Ainsi n divise m si et seulement si la fraction m/n est un entier (si n est non-nul).

Notation.  Pour dire n divise m on écrit souvent n | m.

Exemples

  • 5 | 15.
    On dit 5 divise 15 ou 5 est un diviseur de 15 ou 15 est divisible par 5 ou 15 est un multiple de 5.
  • 3 | 15.

Les affirmations suivantes se déduisent directement de ce que nous avons déjà compris sur les multiples.

  • Tout nombre divise 0 car 0 est multiple de tout nombre.
    En écriture mathématique, n|0 car 0 = 0 × n.
  • Tout nombre divise soi-même car tout nombre est multiple de soi-même.
    Ou encore, n|n car n = 1 × n.
  • 1 divise tout nombre car tout nombre est multiple de 1.
    Ou encore, 1|n car n = n × 1.

Règle 4.  Si p|n et si n|m alors p|m. Par exemple, 15|30 et 30|3000 donc 15|3000.

Preuve :  C'est une traduction directe de la règle 3.

Question :  Qu'est-ce qui est plus grand, multiple ou diviseur ?

Réponse :  Mise à part le multiple 0, les multiples d'un nombre sont plus grands que ses diviseurs.
Par exemple, les multiples non-nuls de 12 sont 12, 24, 36, .... Les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Question :  Qui sont plus nombreux, les multiples d'un nombre donné ou ses diviseurs ?

Réponse :  Un nombre non-nul possède une infinité des multiples mais seulement un nombre fini de diviseurs.
En effet, pour n non-nul, la liste des multiples de n est 0, n, 2n, 3n, ... C'est une liste infinie avec des nombres de plus en plus grands. En revanche, le plus grand diviseur de n est n lui-même, donc n possède un nombre fini de diviseurs qui se trouvent parmi les nombres 1, 2, 3, ..., n.

Trouver tous les diviseurs d'un nombre donnée n'est pas facile si ce nombre est grand. Donc il est pratique de disposer de quelques critères de divisibiltés. Ca sera l'objet du prochain billet. Finissons ce billet avec un énoncé simple et sa preuve. Ca sera l'occasion de voir le formalisme des multiples en action.

Théorème.  Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair.

Preuve du théorème.  Fixons un nombre entier n au hasard et prouvons le théorème pour ce nombre. (Le mathématicien dit pour cela soit n un entier.) Alors il y a deux cas possibles : soit n est pair, soit n est impair.
Supposons d'abord que n est pair. Alors il existe un entier k tel que n=2k. Ainsi n2=4k2 ce qui prouve que n2 est un multiple de 4, et donc en particulier un nombre pair. On vient de prouver que si un nombre est pair alors son carré aussi.
Supposons maintenant que n est impair. Alors il existe un entier k tel que n=2k+1. Donc n2=(2k+1)2=4k2+4k+1, et comme les deux premiers termes de cette somme sont pairs on en déduit que n2 est impair. On vient de prouver que si un nombre est impair alors son carré aussi.
Or un nombre entier est soit pair soit impair ; donc en fait on a prouvé lé théorème.

Remarque.  Le théorème peut aussi s'énoncer comme suit : un entier est impair si et seulement si son carré est impair.

Exercices.  Les quatre exercices suivants sont faciles. Il faut simplement imiter la démonstration du théorème.

  1. Montrer qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son carré l'est.
  2. Montrer qu'un entier est pair si et seulement si son cube l'est.
  3. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 4 si et seulement si son carré l'est ?
  4. Est-il vrai qu'un entier est multiple de 3 si et seulement si son cube l'est ?


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