Un groupe topologique est un ensemble G munie d'une structure de groupe et d'une topologie telles que la loi interne

G \times G \rightarrow G ,\;\; (x,y) \rightarrow xy,
et la formation d'inverse
G \rightarrow G ,\;\; x \rightarrow x^{-1},
sont des applications continues. En autres mots les deux structures, l'algébrique et la topologique, sont liées de manière naturelle par une condition de compatibilité. On peut alors se poser la question suivante :

Question

Existe-t-il deux groupes topologiques qui sont isomorphes comme groupes et homéomorphes comme espaces topologiques mais qui ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques ?

Voici la réponse avec l'exemple de JLT.

Réponse

Oui. Preuve en trois étapes :

  1. Soient G et H des parties denses de \mathbb{R} et f :\: G \rightarrow H une bijection monotone. Alors f est un homéomorphisme.

    On peut supposer f croissante. Nous allons montrer sa continité. Soient x_0\in G et \epsilon>0. Puisque H est dense dans \mathbb{R} on a H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,\neq\emptyset. Donc il existe

    y_1\in H\cap\,]f(x_0)-\epsilon,f(x_0)[\,.

    De même il existe y_2\in H\cap\,]f(x_0),f(x_0)+\epsilon[\,. A cause de la surjectivité de f on peut écrire y_k=f(x_k) avec x_k\in G, k=1,2. On pose \delta=\min(x_0-x_1,x_2-x_0). Alors pour tout x dans G

    \begin{align*}x_0-\delta<x<x_0+\delta \;\;\;\Longrightarrow\;\;\;& f(x_0-\delta)<f(x)<f(x_0+\delta)\\
\Longrightarrow\;\;\;&y_1=f(x_1)\leq f(x)\leq f(x_2)=y_2\\
\Longrightarrow\;\;\;&f(x_0)-\epsilon<f(x)<f(x_0)+\epsilon\,,
\end{align*}

    ce qui montre que f est continue en x_0. La preuve de la continuité de la réciproque f^{-1} est la même.
     
  2. Soient G et H des parties denses et dénombrables de \mathbb{R}. Alors elles sont homéomorphes.

    D'abord nous écrivons

    \begin{align*}  G&=\{x_0,x_1,x_2,\ldots\}\;\;\;\;\;(*)\,,&H&=\{y_0,y_1,y_2,\ldots\}\;\;\;\;(**)\,.
\end{align*}

    Maintenant nous allons énumérer G et H d'une autre manière, G=\{x'_0,x'_1,x'_2,\ldots\} et H=\{y'_0,y'_1,y'_2,\ldots\}. Le but est de faire de sorte que G \to H, x'_k \mapsto y'_k, est une bijection monotone (et donc automatiquement un homéomorphisme). On procède comme suit.
     
    • k=0. On prend x'_0=x_0,\;y'_0=y_0
       
    • k=1. On prend x'_1=x_1. Pour le choix de y'_1 regardons l'ordre de x'_0 et de x_1'.
      Si x'_1<x'_0 alors on prend comme y'_1 un élément de H inférieur à y'_0.
      Si x'_1>x'_0 alors on prend comme y'_1 un élément de H supérieur à y'_0.
       
    • k=2. On prend comme y'_2 le premier élément de H\setminus\{y'_0,y'_1\} de la liste (**). Pour choisir x'_2 regardons l'ordre de y'_0,y'_1,y'_2.
      Si y'_2 est inférieur à y'_0 et y'_1 on prend comme x'_2 un élément de G inférieur à x'_0 et x'_1.
      Si y'_2 est supérieur à y'_0 et y'_1 on prend comme x'_2 un élément de G supérieur à x'_0 et x'_1.
      Si y'_2 est entre y'_0 et y'_1 on prend comme x'_2 un élément de G entre x'_0 et x'_1.
       
    • k=3. On prend comme x'_3 le premier élément de G\setminus\{x'_0,x'_1,x'_2\} de la liste (*). Pour le choix de y'_3 regardons l'ordre de x'_0,x'_1,x'_2,x'_3. Il y a 24 possible manières de ranger ces quatre nombres.
      Si x'_3<x'_0<x'_1<x'_2 on prend comme y'_3 un élément de H inférieur à y'_0,y'_1,y'_2.
      Si x'_2<x'_3<x'_0<x'_1 on prend comme y'_3 un élément de H entre y'_2 et y'_0.
      Et ainsi de suite.
       
  3. Les groupes topologiques G=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt2 et H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3 répondent au problème.

    D'après ce qu'on vient de voir, G et H sont homéomorphes comme espaces topologiques. Evidemment ils sont isomorphes comme groupes. Mais ils ne sont pas isomorphes comme groupes topologiques. En effet, supposons qu'il existe un isomorphisme de groupes topologiques f :\, G \to H. Par un récurrence facile f(n)=nf(1) pour tout entier n, et puis f(r)=rf(1) pour tout rationel r. Alors par continuité

    f(\sqrt2)=\sqrt2f(1),\;\;\;\;\lightning

    impossible dans H=\mathbb{Q}+\mathbb{Q}\sqrt3.


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