Facteurs multiplicateurs et énérgie des éoliennes
Nous savons tous que l’aire d’un carré de côté L vaut L². Lorsqu’on double la longueur des côtés alors l’aire est multipliée par 4 ; en effet, (2L)²=4L².
On montre de la même manière que si on double chaque côté d’un cube alors on multiplie sa superficie par 4 et son volume par 8. Plus généralement, ce principe fonctionne aussi pour des surfaces et volumes courbés
(sphères, cones,…). Les mathématiciens parlent alors d’homothétie, les physiciens de changement d’échelle.
On le voit bien sur les formules pour une
sphère de rayon r : La circonférence (périmètre d’un grand cercle) vaut \(2\pi r\), sa superficie \(4 \pi r^2\) et son volume \(4\pi r^3/3\). Donc la circonférence est proportionnelle à r, la surface à r² et le volume à \(r^3\).
Question :
Aujourd’hui la vitesse du vent qui arrive sur mon éolienne est le double de celle d’hier. Par quel facteur dois-je multiplier l’énérgie obtenue dans la journée d’hier pour calculer celle que j’obtiens aujourd’hui ?
(On pourra supposer une éolienne idéale qui capte toute l’énergie du vent qui passe.)
La réponse n’est pas très difficile, les connaissances en physique du lycée devraient suffire.
Le vent sur terre n’atteignant pas des vitesses relativistes, l’énergie contenue est de l’ordre 1/2 mv². En supposant un instant que la densité de l’air, le facteur de rendement de ton éolienne, etc., ne varient pas trop, un doublement de la vitesse du vent quadruplera l’énergie que tu captureras.
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Non, la bonne réponse est : Le facteur multiplicateur est 8.
A première vue ce résultat semble étonnant. Il est d’ailleurs la raison pour laquelle la performance des éoliennes est si fortement liée au vent.
Preuve : Notons v la vitesse du vent d’hier. Alors l’énergie cinétique du vent est mv²/2 où m est la masse de l’air. Aujourd’hui la vitesse de vent est 2v.
Si on se précipitait sur une réponse on dirait alors que l’énergie est multipliée par 4 puisque (2v)²=4v². Mais ça serait oublier un détail ! Considérons un petit paquet de volume d’air de masse \(\Delta m\). Alors son arrivée sur l’éolienne échange l’énergie \(\Delta mv^2/2\). L’énergie produite hier est la somme \(\sum\Delta mv^2/2\) sur tous les petits paquets de masse. Or comme la vitesse du vent aujourd’hui a doublé il y a deux fois plus de petits paquets de masse. Alors la somme est multipliée par 8.
Preuve alternative : Je fais l’expérience mentale suivante. La vitesse du vent est nulle et c’est moi qui déplace l’éolienne à vitesse constante v sur des rails ; les rails sont supposés sans frottement, seulement le frottement avec l’air importe. Alors l’énergie captée par l’éolienne est égal au travail que je déploie pour la pousser. Ce travail et le produit de la force et du chemin. Maintenant faisons l’hypothèse que la force de frottement avec l’air est proportionnelle au carré de la vitesse. Donc si la vitesse double alors la force du frottement est multipliée par 4 et la longueur du chemin par 2. Donc le tout est multiplié par 8.
Frottement : En même temps nous apprenons par ce raisonnement que la force de frottement de l’air est proportionnelle au carré de la vitesse.(*)
En effet, notons F(v) la force du frottement avec l’air. Si dans la deuxième preuve ci-dessus on procède sans l’hypothèse que frottement est proportionnelle au carré de la vitesse alors on obtient, en comparant avec le résultat de la première preuve, que pour tout v on a F(2v)=4v. Or on a pris le facteur 2 seulement pour fixer les idées et plus généralement on a
\(\forall \lambda, v\,:\;\;\;\;\;F(\lambda v)=\lambda^2F(v).\)
En particulier, en prenant v=1 et en posant k=F(1), on obtient
\(\forall \lambda\,:\;\;\;\;\;F(\lambda)=F(\lambda\cdot1)=\lambda^2F(1)=k\lambda^2.\)
Autrement dit, la force de friction F est proportionnelle au carré de la vitesse (fonction homogène de degré 2),
\(\forall v\,:\;\;\;\;\;F(v)=kv^2.\)
(*) Cela n’est plus vrai pour des vitesses faibles qui ne sont pas assez fortes pour faire tourner l’éolienne : dans ce cas le vent de l’objet (comme un fluide) et, selon les expériences de Stokes, la force du frottement est proportionnel à la vitesse.